モーメント母関数を用いた期待値と分散の計算

確率密度関数の期待値と分散をモーメント母関数をで表現

モーメント母関数とは

モーメント母関数の定義は以下になります。

確率・統計の学習をしていると、いろいろなところでお世話になるモーメント母関数ですが、とりあえず、期待値と分散をモーメント母関数で表現するとどうなるかを、実際に式変形しながら求めていきましたので、ここでは、その手順を紹介します。

確率密度関数の期待値と分散をモーメント母関数で表現

確率密度関数$f(x)$の期待値と分散をモーメント関数を用いて表現すると、以下になるそうです。

$$
M(\theta) = E[\mathrm{e}^{\theta x}] = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\theta x}f(x)dx
$$

$$
u = E[X] = M'(0)
$$

$$
\sigma^2 = V[X] = M”(0) – M'(0)^2
$$

これを導出していきたいと思います。

期待値の計算

まず、期待値から計算してみる。

$M(\theta)$を$\theta$で微分

$$ \begin{eqnarray} M'(\theta) &=& \frac{d}{d\theta}\left( \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\theta x}f(x)dx \right) \\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{e}^{\theta x}f(x)dx \end{eqnarray} $$ なので、$M'(0)$は、 $$ \begin{eqnarray} M'(0) &=& \int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{e}^{0 \cdot x}f(x)dx \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \\ &=& E[X] \end{eqnarray} $$

分散の計算

次に、分散を計算します。

さらに微分して、 $$ \begin{eqnarray} M”(\theta) &=& \frac{d}{d\theta}\left( \int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{e}^{\theta x}f(x)dx \right) \\ &=& \int_{\infty}^{\infty}x^2\mathrm{e}^{\theta x}f(x)dx \end{eqnarray} $$ 再び$M”(0)$を計算。 $$ \begin{eqnarray} M”(0) &=& \int_{\infty}^{\infty}x^2\mathrm{e}^{0 \cdot x}f(x)dx \\ &=&\int_{\infty}^{\infty}x^2f(x)dx\\ &=&E[X^2] \end{eqnarray} $$

ここまでで、$E[X]$と$E[X]^2$を求めることができました。

ここで、

$$V[X] = E[X^2] – E[X]^2$$

なので、 それぞれ結果を代入して以下のようになります。

$$ \sigma ^2 = V[X] = M”(0) – M'(0)^2 $$

以上、計算終わりです。

$e^{ax}$の微分・積分さえ覚えていれば、この展開は比較的簡単な気がします。

まぁ、簡単じゃなければ、モーメント母関数なんて使われない気もしますが。