正規分布の期待値の計算

Aru

平均が$\mu$, 分散が$\sigma ^2$の正規分布の期待値は$\mu$ですが、ここではこれを導いてみたいと思います。以下の記事は、期待値の導出の記事になりますので求め方に興味がある方は一読ください。

正規分布の期待値を計算してみる

正規分布$N(\mu, \sigma^2)$の期待値を求めてみます。

平均が$\mu$、偏差が$\sigma$の場合、正規分布の確率密度が$f(x)$は以下の式で与えられます。

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$

正規分布の確率密度関数は覚えておいた方が良いです。

また、期待値は定義より以下になります。

$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx
$$

$f(x)$を展開すると、

$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot　
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
$$

ここで、以下のようにおいて置換積分を行います。

$$
\frac{(x-\mu)}{\sqrt{2}\sigma} = t
$$

値域は$x : -\infty \to\infty$のとき、$t : -\infty \to\infty$で、$dx$と$t$はそれぞれ以下のようになります。

$$ \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx = dt\\ dx = \sqrt{2}\sigma dt $$

$$
t = \sqrt{2}\sigma t + \mu
$$

これを期待値の式に当てはめて変形していきます。

$$ \begin{eqnarray} E[X] &=& \int_{-\infty}^{\infty} \left(\sqrt{2}\sigma t + \mu \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-t^2} \sqrt{2}\sigma dt\\ &=&\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\sqrt{2}\sigma t + \mu \right) e^{-t^2}dt\\ &=&\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left\{ \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{2}\sigma t e^{-t^2}dt + \int_{-\infty}^{\infty} \mu e^{-t^2}dt \right\} \end{eqnarray} $$

ここで、以下の部分は奇関数で、奇関数の場合、$-\infty \to \infty$の範囲の合計は０になるので消しすことができます。

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{2}\sigma t e^{-t^2}dt
$$

上記を消去すると、式は以下のようになります。

$$ \begin{eqnarray} E[X] &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mu e^{-t^2}dt\\ &=& \frac{\mu}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt\\ &=& \frac{\mu}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi} = \mu \end{eqnarray} $$

最後の$\sqrt{\pi}$になる部分については、重責分の説明が参考になるかと思います。

重責分の説明の$-x^2-y^2$を$-x^2 – x^2$としてちょっと考えてみてください。