ベイズモデル構築に役立つ確率分布の確率密度関数、期待値と分散
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ベイズモデリングとは？初心者向けに統計モデリングの基礎を解説
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ベイズ統計モデリングは、確率に基づく統計的アプローチで、複雑なデータ分析に役立つ手法です。本記事では、初心者向けに、ベイズ統計モデリングをわかりやすく解説し、統計モデリングの基本的な概念や実践方法を紹介します。
ベイズモデリングは面白い
最近、ベイズモデリングにハマっています。
ベイズモデリング（またはベイズ統計モデリング）とは、ベイズの定理を用いた統計手法のことです。この記事では、ベイズモデリングについて詳しく解説します。
代表的なライブラリには、JAGSやStanなどがありますが、主にR言語からStanを呼び出すrstanと、PythonでベイズモデリングできるPyMCを使っています。
rstanのインストール方法については「Rstan-Getting-Started」を参考にしてください
近年、MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）と呼ばれる手法を汎用的に扱えるソフトウェアが登場したことで、ベイズモデリングが非常に手軽に利用できるようになりました。
Pythonを使ってベイズモデリングを実践する記事になります。参考にしてください。
PyMC（ベイズ統計モデリング）で回帰問題を解く｜Python
PyMCで学ぶベイズ統計モデリング｜イカサマコインの判別にチャレンジ
以前は手を出しにくかったベイズモデリングですが、パソコンの性能向上やライブラリの充実により、活用できるようになってきました。
興味がある方はぜひ試してみてください。次のセクションでは、ベイズモデリングの概要について解説します。
PCの性能がアップすると、これまでは計算量的に使えなかった技術や理論が使えるようになって面白いです。ディープラーニングとかもその１つですね。
統計モデリングって
統計モデリングとは、「確率モデルを用いてデータ生成のメカニズムを記述し、データを使ってパラメータを推定する」手法を指します。
そして、統計モデリングにベイズ統計を適用したものが、「ベイズモデリング（ベイズ統計モデリング）」となります。ベイズモデリングは、事前分布や事後分布を考慮することで、パラメータの推定精度を向上させることが可能です。このアプローチにより、不確実性を管理し、より信頼性の高い推測を行うことができます。
ベイズモデリング
ベイズモデリングを用いることで、従来では解けなかった複雑なモデルが扱えるようになると言われています。私自身、非常に直感的にモデルを組み立てられる点が魅力だと感じています。
例えば、身長の分布を考えてみましょう。身長の分布は正規分布になると考えられるため、平均値を$\mu$、標準偏差を$\sigma$とした正規分布でモデル化できます。
$$
height \sim normal(\mu, \sigma)
$$
ここで、「体重と身長は比例するのでは？」と考えたとしましょう。従来の手法では、回帰分析を用いることが考えられます。まず、身長と体重の関係が線形であると仮定すると、次のような線形モデルを用いて回帰分析を行います。
$$
height = a + b \times weight
$$
ここまでは、高校生レベルの内容でしょうか。ベイズモデリングでも似たようなアプローチを取りますが、身長の平均値$\mu$に体重のモデルを代入します。イメージとしては、以下のような式になります。
$$
height \sim normal(a+b \times weight, \sigma)
$$
この式の解釈は、「身長の平均は体重に比例しており、$\sigma$のばらつきを持つ」ということです。直感的に理解しやすいのではないでしょうか。ちなみに、先ほどの線形回帰でもばらつきを定義でき、以下のように$\epsilon$で表すことができます。
$$
height = a + b \times weight + \epsilon
$$
どちらの式が直感的ですか？
個人的には、統計モデリングでの記述の方が直感的だと思います。
統計モデリングでは、さらに体重についてのばらつきを追加して表現することもできます。例えば、体重が平均$\mu_w$、標準偏差$\sigma_w$の正規分布に従うと考えられる場合、次のように記述できます。
$$
height \sim normal(a+b \times weight, \sigma)
$$
$$
weight \sim normal(\mu _w, \sigma_w)
$$
追加されたのは、体重が正規分布に従うという一文です。このように、それぞれの値に対してモデルを追加していくことで、より詳細にモデルを記述することができます。
ベイズモデリングのツールのすごいところは、こういった記述をほぼそのまま用いるだけで計算できる点です（表現が不十分かもしれませんが、ここでは「計算」と呼んでおきます）。
ここでは、プログラム例などは記載しませんが、興味がある方は調べてみてください。
プログラムに慣れている人でも、確率変数が入った文法にちょっと躓くかもしれません。
追記（ベイズらしい部分を忘れていました）
ここまで書いて、大切なことを書き忘れていたことに気づきました。実際には、ベイズの要素が欠けていました（汗）。
実際には、数人の体重と身長を計測し、そこから平均や偏差などのパラメータを推定します。回帰分析の場合は、係数$a$と$b$を推定します。計測したデータをそれぞれ$height_i$、$weight_i$とすると、次の確率を求めることになります。
$$
P(a,b | height _i, weight _i)
$$
これは以下のように書き直せます。
$$
P(a,b | height _i, weight _i)=\frac{P( height _i, weight _i | a,b)P(a,b)}{P( height _i, weight _i )}
$$
左辺の確率はそれぞれモデリングされており、そのモデルを適用します。ソフトウェアはこの計算を自動で行ってくれるので、とても便利です！！
ベイズモデリングに興味が湧いた方は、以下の記事も参考にしてください。
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専門分野は並列処理・画像処理・機械学習・ディープラーニング。プログラミング言語はC, C++, Go, Pythonを中心として色々利用。現在は、Kaggle, 競プロなどをしながら悠々自適に活動中