２変数の離散型確率の平均と分散、相関係数を求める演習

Aru

ここでは、２変数の離散確率に関して実際に演習問題を解いてみます。

こちらの記事も参考にしてください。

問題

確率分布が次の表で示される場合に、期待値$E[X]$と$E[Y]$、分散$V[X]$と$V[Y]$、共分散$C[X,Y]$および相関係数$\rho _{xy} $を求めなさい。

X\Y	1	2	3	計
1	1/12	1/12	4/12	1/2
2	3/12	3/12	0	1/2
計	1/3	1/3	1/3	1

解答

解答は以下のようになります。

期待値E[X]の計算

期待値$E[X]$は、表の行（縦方向）の計から計算できます（表の右側の計の列）。具体的には以下になります。

$$ \begin{eqnarray} E[X] &= &1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2}\\ &=& \frac{3}{2} \end{eqnarray} $$

期待値E[Y]の計算

期待値$E[Y]$は、表の列（横方向）の計で計算できます（表の下の計ｍの列）。具体的な計算は以下になります。

$$ \begin{eqnarray} E[X] &= &1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} ＋ 3 \times \frac{1}{3}\\ &=& \frac{6}{3} = 2 \end{eqnarray} $$

分散E[X], E[Y]の計算

$V[X]$, $V[Y]$は、次の公式を使って求めます。

$$V[X] = E[X^2] – E[X]^2$$

$E[X]$は計算しているので、$E[X^2]$を計算する必要があります。

$$ \begin{eqnarray}
E[X^2] &= &1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{2}\\
&=& \frac{5}{2}\\
\end{eqnarray} $$

あとは、公式に従って$V[X]$を求めるだけです。

$$ \begin{eqnarray}
V[X] &=& E[X^2] – E[X]^2 \\ &=& \frac{5}{2} – \left(\frac{3}{2}\right)^2\\ &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray} $$

$V[Y]$についても同様に計算すればOKです。

$$ \begin{eqnarray} E[Y^2] &= &1^2 \times \frac{1}{3} + 2^2 \times \frac{1}{3} ＋ 3^2 \times \frac{1}{3}\\ &=& \frac{14}{3}\\ \end{eqnarray} $$

$$ \begin{eqnarray}V[Y] &=& E[Y^2] – E[Y]^2 \\ &=& \frac{14}{3} – 2^2\\ &=& \frac{2}{3} \end{eqnarray} $$

共分散$C[X, Y]$の計算

共分散は、定義通りに計算します。

$$ \begin{eqnarray} C[X,Y] &=& 1 \times 1 \times \frac{1}{12} + 1 \times 2 \times \frac{1}{12} + 1 \times 3 \times \frac{4}{12} + 2 \times 1 \times \frac{3}{12} + 2 \times 2 \times \frac{3}{12} + 2 \times 3 \times 0\\ &=& \frac{11}{4} \end{eqnarray} $$

相関係数の計算

相関係数は、以下の式で計算できます。

$$
\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}
$$

ここまで計算した値を当てはめていけば、以下のようになります。

$$ \begin{eqnarray} \rho_{xy} &=& \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}\\ &=& \frac{\frac{11}{4}}{\sqrt{\frac{1}{4}} \sqrt{\frac{2}{3}}}\\ &=&\frac{11\sqrt{6}}{4} \end{eqnarray} $$