期待値計算｜両辺にE(x)が現れる場合の解き方を解説
Aru
Aru's テクログ（Aruaru0）
反復施行の確率
Aru
表が出る確率が1/2のコインをn回投げて少なくとも２回表が出る確率を求める問題の解き方
２回以上表が出る確率は$P_ k$をk回表が出る確率とした場合、以下の式になる。
$$
1-\sum_{k=0}^{1}P_k=1-(P_0 + P_1)
$$
$$
P_k = _n \mathrm{C} _k \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^k \cdot
\left( \frac{1}{2} \right) ^ {n-k}
$$
反復施行の確率とは
反復施行とは、「同じことを繰り返す」ことです。ここでは、同じ操作を複数回繰り返した場合の確率について考えます。また、同じことを繰り返した場合に、k回以上期待した結果が出る確率の求め方も合わせて紹介します。
表が複数回でる確率
表が出る確率pのコインをn回投げてk回表が出る確率
表が出る確率がpのコインをn回投げて少なくとも２回表が出る確率を求める問題の解き方です
k回表が出る確率$P_k$は、二項分布の確率の式の通り、以下の式になります。
$$
P_k = _n \mathrm{C} _k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
$p^k$が表がk回出る確率で、$(1-p)^{n-k}$が裏がn-k回出る確率、$_n \mathrm{C} _k$が組み合わせの数となります。例えば、n=５回のうち２回表の場合は表表裏裏裏とか裏表裏表裏とか、複数のパターンが考えられるますが、このパターン数は$_5 \mathrm{C} _2$となります。
表が2回以上出る確率
「表が２回以上出る＝少なくとも２回表が出る」確率なので、２回、３回、４回・・・ｎ回表が出る確率を全て合計したものになります。つまり、以下の式になります。
$$
\sum_{k=2}^{n}P_k
$$
ただ、これを計算するのは少し大変です。発想を転換して、表の出る回数が２回と少ないことを利用する方法を考えてみます。
全事象（表が０回、１回、２回・・・ｎ回）の確率の合計は当然１となります。
なので、「少なくとも２回」を計算したければ、１から、０回と１回表が出る確率を引けばよいことになります。
つまり、
$$
1-\sum_{k=0}^{1}P_k=1-(P_0 + P_1)
$$
を計算すればよいことになります。
このように、逆を計算した方が簡単な場合があります。
終わりに
表が出る確率が1/2のコインをn回投げて少なくとも２回表が出る確率を求める問題の解き方について説明しました。
このように、逆に考えて解くほうが簡単な問題が結構あります。発想の転換は重要です。
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専門分野は並列処理・画像処理・機械学習・ディープラーニング。プログラミング言語はC, C++, Go, Pythonを中心として色々利用。現在は、Kaggle, 競プロなどをしながら悠々自適に活動中