二項分布の期待値を求めてみる（導出してみる）

tadanori

二項分布に関連する記事は、これまでいくつか書いてきました。今回は、二項分布の期待値を求める方法について解説します

二項分布の期待値と分散

確率変数Xが二項分布に従うとき、Xの期待値と分散は以下のようになります

期待値

$$ E[X] = np$$

分散

$$V[X] = np(1-p)$$

離散確率で頻出する二項定理って？

反復施行の確率

二項分布とは

二項分布とは、確率がpのスロットをn回まわすといった問題の確率分布です。

まずn回中k回当たる確率は、以下の式で定義されます。

$$
p_k = {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$

二項分布は$B(n,p)$という形で表現します

期待値を求める

今回は、この二項分布の期待値を求めてみます。

期待値$E[X]$は、その定義から、以下の式になります。

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot p_k \\ &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ \end{eqnarray} $$

かなり複雑ですが、これを頑張って変形して行きます。

以下は変形に必要な予備知識です。

展開のための予備知識

$$ k\cdot {}_n\mathrm{C}_k=n \cdot _{n-1}\mathrm{C}_{k-1} $$

これは、愚直に展開すれば簡単に（？）に証明できます。

$$ \begin{eqnarray} k\cdot {}_n \mathrm{C} _k &=& k \cdot \frac{n!}{k! \left(n-k \right)!}\\ &=&k \cdot \frac{n \cdot (n-1)!}{k \cdot (k-1)! \left((n-1)!-(k-1) \right)!}\\ &=&n \cdot \frac{(n-1)!}{((n-1)!-(k-1)!)}\\ &=&n \cdot _{n-1} \mathrm{C} _{k-1} \end{eqnarray} $$

では、期待値の式を変形して行きましょう。

ところで、$k=0$のとき$k\cdot p_k=0$です。

なので、k=1からに変形しても結果は同じなので、以下のように式を書き換えます

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ &=& \sum_{k=1}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ \end{eqnarray} $$

先ほどの公式（予備知識）を使えば以下のように変形できます。

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=& \sum_{k=1}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ &=&\sum_{k=1}^{n}n\cdot _{n-1}\mathrm{C} _{k-1}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ \end{eqnarray} $$

ここで、再び$k=0$からに戻します。

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=&np \sum_{k=0}^{n} {}_{n-1}\mathrm{C} _{k-1}\cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\ &=&np(p+(1-p))^{n-1}\\ &=&np \end{eqnarray} $$

メモ

最後の変形は以下の二項定理を使っています。

$$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k x^k y^{n-k} $$

以上で期待値が$np$までたどり着きました。分散も似たような方法で計算可能ですが、ここでは省略します。

丁寧にやれば自力で$V[X]=np(1-p)$までたどり着けるかと思います。。

ちなみに、1回の施行の期待値が$E[X]=p$でn回なので$E[nX]=nE[X]=np$と考えてもよいみたいです。

#二項分布 #期待値 #確率