等比数列の公式

等比数列の和と証明

上記の数列の初項が$a$、末項が$b$、公比が$r$である場合の公式は以下になります。

$$
\sum_{a}^{b}{等比数列}=\frac{a-b\times r}{1-r}
$$

結構頻繁に使う公式です。

証明も簡単です。

合計値を$S$とすると、

$
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^{n-1}
$

となります。

ここで$S-rS$を考えます。

$S-rS$を考えると発想さえできればあとは簡単です。ここを思いつくのがすごいなと思います。

$$\begin{eqnarray}
S – rS &=& (1-r)S\\
(1-r)S &=& a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^{n-1}S – rS = (1-r)S\\
(1-r)S &=& a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^{n-1} – (ar + ar^2 + ar^3+ ar^4 … + ar^n)\\
(1-r)S &=& a – ar^n\\
S&=&\frac{a-ar^n}{1-r}\\
S&=&\frac{a-ar^{n-1}r}{1-r}\\
\end{eqnarray}$$

$ar^{n-1} = b$を代入すると最初の式が導出されます。

$$
S=\frac{a-b\times r}{1-r}
$$

末項が無限大であるもの（公比＜１の場合）も、よく利用します。

$|r|<1$の場合、以下のようになる。

$$
\sum_{a}^{\infty}{等比数列}=\frac{a}{1-r}
$$

シグマの計算いろいろ

ついでに以下の公式も覚えておきましょう。計算の過程などで頻繁に利用します。以下の式において、$c$は定数、$n$は項数です。

cがｎ個の和（１〜ｎまで）

$c, c, c, c, …, c$という数列の和は、$cn$となります。

$$
\sum_{k=1}^{n}1=cn
$$

cが(n+1)個の和（０〜ｎまで）

$\sum$が0~nの場合には、数はn+1個になります。

$$
\sum_{k=0}^{n}1=c\left(n+1\right)
$$

1からnまでの和

1から100までの合計が5,050といったことは、この式を使えば簡単にわかります

$$
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left( n+1 \right) }{2}
$$

この式は初項が$a$、末項が$b$、公差が$d$の場合の等差数列の和の式、

$$
S_n = \frac{(a+b)n}{2}
$$

の初項が$1$、末項が$n$の場合の式です。

以下に示す、２乗と３乗の和は、確率・統計で式を展開する場合に、よく出てきますので公式として覚えておくと問題を解くのが楽になります

１の2乗からnの2乗までの和

$$
\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right)}{6}
$$

１の3乗からnの3乗までの和

$$
\sum_{k=1}^{n}k^3=\left( \frac{n\left( n+1 \right) }{2} \right)^2
$$