二項分布の期待値を求めてみる（導出してみる）

二項分布に関連する記事は、これまでいくつか書いてきました。今回は、二項分布の期待値を求める方法について解説します

離散確率で頻出する二項定理って？

反復施行の確率

二項分布とは

二項分布とは、確率がpのスロットをn回まわすといった問題の確率分布です。

まずn回中k回当たる確率は、以下の式で定義されます。

$$
p_k = {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$

二項分布は$B(n,p)$という形で表現します

期待値を求める

今回は、この二項分布の期待値を求めてみます。

期待値$E[X]$は、その定義から、以下の式になります。

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot p_k \\ &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ \end{eqnarray} $$

かなり複雑ですが、これを頑張って変形して行きます。

以下は変形に必要な予備知識です。

では、期待値の式を変形して行きましょう。

ところで、$k=0$のとき$k\cdot p_k=0$です。

なので、k=1からに変形しても結果は同じなので、以下のように式を書き換えます

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ &=& \sum_{k=1}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ \end{eqnarray} $$

先ほどの公式（予備知識）を使えば以下のように変形できます。

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=& \sum_{k=1}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ &=&\sum_{k=1}^{n}n\cdot _{n-1}\mathrm{C} _{k-1}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ \end{eqnarray} $$

ここで、再び$k=0$からに戻します。

$$ \begin{eqnarray} E\left[X\right] &=&np \sum_{k=0}^{n} {}_{n-1}\mathrm{C} _{k-1}\cdot p^{k-1} \cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\ &=&np(p+(1-p))^{n-1}\\ &=&np \end{eqnarray} $$

以上で期待値が$np$までたどり着きました。分散も似たような方法で計算可能ですが、ここでは省略します。

丁寧にやれば自力で$V[X]=np(1-p)$までたどり着けるかと思います。。

ちなみに、1回の施行の期待値が$E[X]=p$でn回なので$E[nX]=nE[X]=np$と考えてもよいみたいです。

ある/Aru

IT＆機械学習エンジニア/ファイナンシャルプランナー（CFP®)

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専門分野は並列処理・画像処理・機械学習・ディープラーニング。プログラミング言語はC, C++, Go, Pythonを中心として色々利用。現在は、Kaggle, 競プロなどをしながら悠々自適に活動中