ベイズ推定でモンティ・ホール問題を解いてみる

Aru

有名なモンティ・ホール問題をベイズ推定を用いて解く記事です。当時は答えについて学識者を含めて議論が繰り広げられたと言いますが、今となってはその考え方が理解されているため、この問題が議論の的になったこと自体が不思議です。

Contents

モンティ・ホール問題とは
子供に説明するような簡単な解釈
ベイズ推定で真面目に計算してみる
おわりに

モンティ・ホール問題とは

モンティ・ホール問題とは、以下のようなルールで３つの扉から１つを選択する問題です。

３つの扉がある。１つは正解、２つは不正解
この中から挑戦者が１つを選択
正解を知っているモンティ（司会者）が残った２つの扉のうち、不正解の１つを選んで開ける
このあと、挑戦者は選んだ扉と残った扉とどちらにするか選ぶことができる

このとき、扉を変えるべきか、変えないべきかというのがこの問題になります。

ここからの説明では扉に以下のような名前をつけておきます。

扉「A」　：　挑戦者が最初に選んだ扉
扉「B」　：　モンティが開けた扉
扉「C」　：　残りの扉

子供に説明するような簡単な解釈

何も情報がない状態では、各扉の正解である確率は、それぞれ1/3です。なので、挑戦者が選んだ扉Aの正解の確率は1/3です。ちなみに、挑戦者がどの扉を選んでも正解する確率は1/3です。

次にモンティが２つの扉のうち不正解の扉Bを開けます。開ける前は、残った２つの扉B,Cの正解の確率も当然1/3ずつですが、Bの扉が不正解と分かったので、扉Bの正解は無くなります（正確する確率は0になります）。

扉Bの1/3は、どちらかの扉に移るわけですが、モンティはBかCの2つの扉のどちらかしか開けられないので（挑戦者の選んだ扉はハズレでも選択できないので）、扉Bの確率1/3は扉Cに移動することになり、扉Cの確率は2/3となります。

選んだ扉の当たる確率は1/3、残った扉が当たる確率は2/3になるので、扉Cを開けたほうが得となります。

この説明は突っ込みどころは満載ですが、「なんとなく分かった気にする」だけなら十分だと思います。

ベイズ推定で真面目に計算してみる

次に、真面目にベイズ推定を使って求めてみます。実は、この計算に結構手間取りました。モンティ・ホール問題の解き方がいまいち分からなくて、いろんなサイトを調べたのですがしっくりとした解答を見つけることができませんでした。

ここでは、自力で考えて納得がいった内容を書いておきます。

まず、以下のように確率を考えます。

扉の正解の確率

３つの扉どれが正解か分からないので、確率は1/3です

$$ P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 $$

モンティがBの扉を開く確率

ここがポイントになります。開く扉をBとしていますが、この扉が開かれる確率を求めます。これは

「Aが正解でBを開ける確率」と、「Cが正解で扉を開ける確率」の合成になります。

個人的に混乱したのは、$P(B_{open})$と$P(B)$が混じってしまっていたからでした。記号をきっちり分けて書けば簡単でしたが、気づくまでに時間がかかりました・・・

ですから、式は以下のようになります。

$$ \begin{eqnarray} P(B_{open}) &=& P(B_{open}|A)P(A) + P(B_{open}|C)P(C) \end{eqnarray} $$

Aが正解なら、残りの扉のどちらを開けてもよいので条件付き確率$P(B_{open}|A)=\frac{1}{2}$になります。

Cが正解なら、不正解を開ける必要があるので２つの扉のうちどちらを開けるかは決まっています。したがって、条件付き確率$P(B_{open}|C)=1$になります。

ですから、$P(B_{open})$は、以下のように求められます。

$$ \begin{eqnarray} P(B_{open}) &=& P(B_{open}|A)P(A) + P(B_{open}|C)P(C) \\ &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} + 1\cdot \frac{1}{3} \\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray} $$

ここまで求まればあとは、「扉Bが開けられたときの扉Aの正解の確率」と「扉Bが開けられたときの扉Cの正解の確率」を求めるだけです。

扉Bが開けられたときの扉Aの正解の確率

$$ \begin{eqnarray} P(A|B_{open}) &=& \frac{P(B_{open}|A)P(A)} {P(B_{open})} \\ &=& \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}} {\frac{1}{2}}\\ &=& \frac{1}{3} \end{eqnarray} $$

扉Bが開けられたときの扉Cの正解の確率

$$ \begin{eqnarray} P(C|B_{open}) &=& \frac{P(B_{open}|C)P(C)} {P(B_{open})} \\ &=& \frac{1\cdot \frac{1}{3}} {\frac{1}{2}}\\ &=& \frac{2}{3} \end{eqnarray} $$

ということで、扉Cを選んだほうが得ということになります。
ベイズ推定は、結構いろんな場面で使えるのでよく活用するのですが、モンティ・ホール問題がずっと引っ掛かっていました。今回自力で解いてみてスッキリしました（笑）。

モンティ・ホール問題は結構有名な問題です。選び直すのが有利か・選び直さないほうが有利かは、当時、学者を巻き込んだ議論になったそうです。