ガンマ関数の性質

ガンマ関数とは

ガンマ関数は、以下のような数式で表される関数になります。

$$ \Gamma(p) = \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}dx $$

この関数ですが、階乗$n!$の整数以外への拡張とみなすことができる関数です。ここでは、ガンマ関数の性質について見ていきたいと思います。

ガンマ関数の性質

ガンマ関数にはいくつかの性質があります。

以下、この２つの証明にチャレンジしてみます。

$\Gamma(1) = 1$

では、 から。

$$ \begin{eqnarray} \Gamma(1) &=& \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x}dx\\ &=& \int_0^\infty x^0 e^{-x}dx \\ &=& \int_0^\infty e^{-x}dx\\ &=& [-e^{-x}]_0^\infty\\ &=& \left( (-0) – (-1)\right) \\ &=& 1 \end{eqnarray} $$

定義の式に代入し、数式を整理するだけですので比較的簡単です。

$\Gamma(p+1) = p\cdot \Gamma(p)$

次は の証明です。

$$ \begin{eqnarray} \Gamma(p+1)) &=& \int_0^\infty x^{p} e^{-x}dx\\ &=& \int_0^\infty x^{p}(-e^{-x})’dx\\ &=& [-x^p e^{-x}]_0^\infty – \int_0^\infty px^{p-1}\cdot(-e^{-x})dx\\ &=& [-x^p e^{-x}]_0^\infty + p\int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx\\ &=& (0 + 0) + p\int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx\\ &=& p\int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx\\ &=& p \cdot \Gamma(p) \end{eqnarray} $$

こちらの証明はちょっと面倒ですが、式を変形していくだけで解くことができます。

2つの式より$n!$であることがわかる

この２つを使うと、

$$
\Gamma(p+1) = p\Gamma(p-1) = p(p-1)\Gamma(p-2) …
$$

となって、結果として

$$
\Gamma(p+1) = p!
$$

と簡単な式になります。この式は、階乗の式そのものです。

ガンマ関数は分布によく使うので覚えておきましょう

おわりに

以上、ガンマ分布の性質と、その証明を行いました。ガンマ関数は便利ですので覚えておくと良いです。